KONSPEKT

Opracowanie: mgr Emilia Pawłowska
Przedmiot: Matematyka
Klasa: II

Temat lekcji: Powtórzenie wiadomości o trójkątach prostokątnych


 Cele operacyjne:

1. Uczeń zna :

2. Uczeń potrafi :

 Metody i pomoce dydaktyczne:
 

1. Metody :

2. Pomoce dydaktyczne :

Przebieg lekcji:

1. Sprawy organizacyjne:

2. Część zasadnicza lekcji:

GRUPA 1. Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa związane jest z trójkątami prostokątnymi .Wyjaśnijmy najpierw, co to jest trójkąt. Trójkąt jest płaską figurą geometryczną, która posiada trzy boki i trzy kąty. Suma kątów w trójkącie wynosi 1800. Trójkąt prostokątny, to taki trójkąt, który ma kąt prosty, czyli kąt 900 .

a - przyprostokątna trójkąta

b - przyprostokątna trójkąta

c - przeciwprostokątna trójkąta
 

 

Twierdzenie Pitagorasa brzmi : Suma kwadratów przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego trójkąta , czyli

a2 + b2 = c2
 

Twierdzenie to służy do obliczania trzeciego boku trójkąta prostokątnego mając dane dwa inne jego boki.

Zadania:

 Zad. 1 Oblicz trzeci bok trójkąta prostokątnego.

  

 Zad. 2 Przeciwprostokątna, którego trójkąta jest bokiem dłuższym?


a)     b)  

 

GRUPA 2. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa


Twierdzenie to służy do sprawdzania, czy trójkąty są prostokątne, mając podane długości ich boków. Brzmi ono następująco: jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Obejrzyjmy teraz krótki film, który pokazuje nam, jak znajdować trójki pitagorejskie (tzn. takie długości boków trójkąta, aby był prostokątny).

Poz. ŁYK MATEMATYKI PWN .

Zadania

 Zad. 3 Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest prostokątny.

a) 3 cm, 4 cm, 5 cm;

 

GRUPA 3. Konstrukcja odcinka o długości niewymiernej

Odcinek o długości niewymiernej np. lub konstruujemy w następujący sposób: musimy znaleźć taki trójkąt prostokątny, aby jego przeciwprostokątna była szukanym odcinkiem, oraz zachodziło twierdzenie Pitagorasa. I tak np. powstaje z trójkąta o przyprostokątnych równych 1 :

bo 12 +12 = ( )2.

 Zachodzi więc twierdzenie Pitagorasa.


Pokażmy jeszcze, jak tworzy się kolejne odcinki o długościach niewymiernych:


 Zadania:

 Zad. 4. Skonstruuj odcinek długości: cm i  cm.

 

GRUPA 4. Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych

Przypomnijmy, jak obliczamy odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych:

- jeżeli odcinek położony jest równolegle do osi x to z tej osi odczytujemy jego długość,

- jeżeli odcinek położony jest równolegle do osi y to jego długość odczytujemy z osi y,

- jeżeli zaś odcinek nie jest równoległy do żadnej z osi to obliczamy go tworząc trójkąt prostokątny.

W naszym przypadku przyprostokątne mają długości 1 i 2 . Zatem z  twierdzenia Pitagorasa mamy:

=

Zadania:

 Zad. 5. Oblicz długość odcinka AB, jeżeli: A = (1; 4), B = (5; 6).

 Zad. 6. Sprawdź, czy trójkąt o podanych wierzchołkach jest prostokątny: A = (-4; -1), B = (3; -4), C = (6; -1).


 GRUPA 5. Przekątna kwadratu, wysokość w trójkącie równobocznym.

Przedstawmy teraz płaską figurę geometryczną, która ma wszystkie boki tej samej długości i kąty proste : kwadrat . Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

Przekątną obliczamy ze wzoru d = a .

a-długość boku kwadratu

d-przekątna kwadratu

 

Rozważmy teraz inną płaską figurę geometryczną, która ma wszystkie boki tej samej długości, zaś  kąty po 600 , trójkąt równoboczny. Wysokość w takim trójkącie dzieli go na dwie równe części i nachylona jest do podstawy pod kątem prostym . Obliczamy ją z następującego wzoru:

 h =
a - długość boku trójkąta
h - wysokość trójkąta

 Zadania:

 Zad.7. Oceń, który odcinek jest dłuższy: przekątna kwadratu o boku 5cm czy wysokość trójkąta równobocznego o boku 4cm?

  

GRUPA 6 Trójkąty o kątach: 900 , 450 , 450 oraz 900, 600 , 300 .

Przedstawmy dwa trójkąty. Pierwszy o kątach 900, 450, 450 powstaje z kwadratu o boku a i przekątnej d =a . Jest to trójkąt prostokątny równoramienny o następujących zależnościach:

a - przyprostokątne trójkąta

d - przeciwprostokątna trójkąta

d = a

Drugi trójkąt o kątach 900 , 600 , 300 powstaje z trójkąta równobocznego o boku a i wysokości h.
Występują w nim następujące zależności:
 

a - przeciwprostokątna trójkąta

h - wysokość trójkąta

- przyprostokątna trójkąta

Zadania:
Zad. 8. Oblicz długości boków oznaczonych literami b, h, y w poniższych trójkątach prostokątnych:

a) wiedząc, że kąt ostry trójkąta ma miarę 450

     b) wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę 300

3. Część końcowa lekcji (ewaluacja)

Komentarz dydaktyczny

Uczniowie pracowali na lekcji w czteroosobowych grupach. Każda grupa miała swojego lidera, który przedstawiał przygotowane wcześniej wiadomości na wylosowany przez grupę temat. Wszystkie grupy miały tydzień na opracowanie swoich tematów i przygotowanie pomocy. Po każdej prezentacji- w odpowiednio szybkim tempie- grupy rozwiązywały zadania z prezentowanego tematu. Uczniowie chętnie współpracowali w grupach. Każda grupa została oceniona. Cele lekcji zostały zrealizowane.